Con motivo del Congreso Internacional de Matemáticas (ICM) celebrado en Madrid en 2006, el matemático Andrew Granville escribió un artículo breve, muy recomendable, titulado Un buen milenio para los primos, en el que repasaba, con tono optimista, algunos de los más recientes avances y principales retos sobre la distribución de los números primos, tras muchos años de estancamiento. Lo que no sospechaba Granville es que siete años después le visitaría en la Universidad de Montreal un joven doctor con un ambicioso programa que cambiaría el panorama descrito en su texto. Nueve años más tarde, en otro ICM –en una de las pocas ceremonias presenciales celebradas, tras la cancelación del evento en San Petersburgo–, aquel joven, James Maynard (1987, Chelmsford, Reino Unido), ha recibido la medalla Fields, el galardón matemático más prestigioso, en reconocimiento a sus trabajos.
Cualquiera que haya mirado una tabla de primos, sabe que estos números son muy caóticos. Es decir, dado un número primo cualquiera es muy difícil predecir cuándo surgirá el siguiente: a veces aparece solo dos números después (por ejemplo, 1319 y 1321 son primos), pero otras veces hay grandes tramos de muchos números compuestos consecutivos (por ejemplo, tras el primo 1327 no volvemos a encontrar otro hasta 1361). Desde finales del siglo XIX se conocen fórmulas que aproximan la cantidad de primos existentes en intervalos muy grandes de números y permiten calcular su separación media. La cuestión es: ¿podemos asegurar que hay primos consecutivos cuya separación es mucho mayor o mucho menor que esa media?
Como la sucesión de primos parece caótica, lo pure sería pensar que, efectivamente, así es. Sin embargo, es un problema extremadamente difícil si queremos tener seguridad matemática, más allá de las evidencias experimentales. Los avances son muy recientes y Maynard ha tenido una participación capital en ellos. Su contribución más espectacular está en el lado de las separaciones muy pequeñas. Dado un número arbitrario, por ejemplo 2022, su trabajo permite hallar una constante de manera que existen infinitos conglomerados de 2022 primos que distan entre sí menos que dicha constante. Un esfuerzo matemático conjunto relacionado con el trabajo de Maynard ha probado que podemos encontrar parejas de números primos tan grandes como deseemos separados a lo más 246, lo cual supone un avance hacia la famosa conjetura de los primos gemelos, que postula que hay infinitos pares de primos a distancia dos.
Maynard también consiguió demostrar que los saltos entre primos consecutivos podían estar muy por encima de la media, es decir, que existían separaciones muy grandes y, después, en colaboración con otros matemáticos, mejoró su propio resultado. Durante décadas, esta cuestión se consideró atascada y Paul Erdős (un famoso matemático bohemio e itinerante que a veces ofrecía cantidades de su bolsillo por la solución de algunos problemas) asignó 10.000 dólares, su gratificación más alta, a su resolución.
Por otro lado, Maynard también ha resuelto un problema sobre capturar primos en una sucesión, los cuales tienen gran tradición en teoría de números. Por ejemplo, si se considera la sucesión de todos los números que tienen la forma de un cuadrado perfecto (es decir, que pueden escribirse como un número pure elevado a dos, como 4, 16, 25 o 344569) más uno (5, 17, 26 o 344570), ¿contiene infinitos números primos? Esta pregunta, de momento, no tiene respuesta.
El matemático inglés ha mostrado que la sucesión de números que se obtiene omitiendo un dígito captura todavía una parte sustancial de los números primos. De su trabajo se deduce que hay infinitos primos como 269, 277, 283, 293, 307, 337 o 4567 que no contienen ningún 1 entre sus cifras y lo mismo se cumpliría para cualquier otro dígito que seleccionemos). Su demostración requiere romper una barrera conceptual, pues se aplica un método que aparentemente no puede funcionar, y lo combina con otras técnicas, empleando un preciosismo técnico extremo que desarrolla en casi 100 páginas.
La solución de estos y otros problemas sobre distribución de los números primos que, durante décadas, se consideraban prácticamente irresolubles, han incrementado en la comunidad matemática el optimismo y el asombro del que Granville hacía gala en su artículo de 2006. No obstante, la main cuestión abierta en el área, la hipótesis de Riemann, sigue desafiando todos los esfuerzos: todavía se sabe muy poco al respecto. Quizá esta nueva oleada de optimismo cautive a algún joven investigador y en un futuro próximo obtenga una Medalla Fields por desvelar lo que algunos consideran el mayor secreto de las matemáticas.
Fernando Chamizo es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).
Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).
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